Geometrische Anwendungen von integrablen Systemen

Die Vorlesung bietet eine Einführung in die Theorie der integrablen Systeme mit Lax-Operatoren und ihre Anwendungen in der Theorie der Flächen in drei- und vierdimensionalen Raumformen. Nach einer Einführung in die vollständig integrablen Systeme wird als erster Schwerpunkt die Krichever-Konstruktion dargestellt. Danach werden einige Systeme behandelt, etwa die sinh-Gordon- und die Dawey-Stewartson-Gleichung sowie ihre geometrischen Anwendungen.

Zielgruppe

Studenten des Integrierten Studienganges für Mathematik und Informatik im Hauptstudium. Besonders geeignet als Vorbereitung zu einer Diplomarbeit mit Schwerpunkt Analysis am Lehrstuhl für Mathematik III.

Das Seminar Geometrische Analysis wird sich schwerpunktmäßig auch mit diesem Themenkreis befassen und ist eine ideale Ergänzung.

Inhalt

Hamiltonsche Systeme, vollständig integrable Systeme, Satz von Liouville, Krichever-Konstruktion, Picardgruppe einer kompakten Riemannschen Fläche, Baker-Akhiezer-Funktion, Burchnall-Chaundy-Theorie, sinh-Gordon-Gleichung, dreidimensionale Raumformen, cmc-Flächen, Monodromie, Spektralkurve, Sym-Bobenko-Formel, Dawey-Stewartson-Gleichung, Dirac-Operator, konforme Immersionen.

Literatur

  • Hitching/Segal/Ward, Integrable Systems
  • Hélein, Constant mean curvature surfaces, harmonic maps and integrable systems
  • Guest, Harmonic maps, loop groups and integrable systems
  • Ford/Wood, Harmonic maps and integrable systems

Voraussetzung

Analysis I/II, Funktionentheorie.