Funktionentheorie I

Die Vorlesung bietet eine Einführung in die Theorie der holomorphen Funktionen in einer komplexen Veränderlichen. Diese holomorphen Funktionen sind über den komplexen Zahlen differenzierbare Funktionen. Es stellt sich heraus, dass diese Forderung der Differenzierbarkeit im Komplexen wesentlich weitreichendere Konsequenzen hat als im Reellen. So sind solche Funktionen immer unendlich oft differenzierbar und sogar analytisch. Außerdem sind alle ihre Werte im Inneren eines Gebiets durch ihre Werte auf dem Rand eindeutig bestimmt. Das Ziel der Vorlesung ist, diese Konsequenzen im Zusammenspiel mit der Geometrie des Definitionsbereiches zu entwickeln.

Zielgruppe

Studenten des integrierten Studienganges für Mathematik und Informatik. Die Vorlesung ist sowohl für eine Vertiefung in Analysis als auch in Algebra grundlegend. Darüberhinaus sind alle interessierten Studenten mit Kenntnissen in Analysis I/II und linearer Algebra willkommen.

Inhalt

Reelle und komplexe Differenzierbarkeit, Cauchy–Riemannsche Differentialgleichungen, komplexe Potenzreihen, Cauchysche Integralformel, Satz von Morera, meromorphe Funktionen, komplexer Logarithmus, Rouches Satz, Maximumprinzip, Riemannscher Hebbarkeitssatz, Satz von Liouville, konforme Abbildungen, Möbiustransformationen, Riemannsche Zahlenkugel, Satz von Montel, Riemannscher Abbildungssatz.

Literatur

  • Jänich, Funktionentheorie
  • Freitag/Busam, Funktionentheorie
  • Stein/Sharkachi, Complex Analysis
  • J. B. Conway, Funtions of One Complex Variable

Voraussetzung

Analysis I und II, Lineare Algebra I.

Materialien

Übungsaufgaben