Riemannsche Geometrie

Die Vorlesung bietet eine Einführung in die Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten. Das sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten zusammen mit einem positiv definiten Skalarprodukt auf den Fasern des Tangentialraumes. Dadurch kann den differenzierbaren Wegen eine Länge zugeordnet werden. Diese geometrische Struktur erlaubt es dann, einige Begriffe aus der Theorie der Kurven und Flächen auf solche riemannsche Mannigfaltigkeiten zu übertragen. Insbesondere die Krümmung wird dann als eine intrinsische Größe, die unabhängig ist von einer Einbettung in einen höherdimensionalen euklidischen Raum, neu interpretiert. Ziel der Vorlesung ist es, das Zusammenspiel von lokalen und globalen Aspekten dieser intrinsischen Differentialgeometrie einzuführen. Riemannsche Geometrie ist ein wesentlicher Bestandteil moderner Mathematik, angefangen bei der Allgemeinen Relativitätstheorie bis zum Beweis der Poincaré-Vermutung durch Hamilton und Perelman.

Zielgruppe

Studenten des integrierten Studienganges für Mathematik und Informatik. Alle interessierten Studenten mit Vorkenntnissen in Differentialgeometrie.

Inhalt

Tangentialbündel, riemannsche Metrik, riemannsche Untermannigfaltigkeit, Länge einer Kurve, Volumenelement, kovariante Ableitung, affiner Zusammenhang, Paralleltransport, Geodäte, Exponentialabbildung, vollständige riemannsche Mannigfaltigkeiten, Satz von Hopf–Rinow, Schnittkrümmung, riemannscher Krümmungstensor, Riccikrümmung, Bianchiidentitäten.

Literatur

  • Gallot/Hulin/Lafontaine, Riemannian Geometry
  • Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis
  • O'Neill, Semi-Riemannian geometry
  • Petersen, Riemannian Geometry
  • Willmore, Riemannian Geometry

Voraussetzung

Analysis I und II, Lineare Algebra, Analysis III oder Differentialgeometrie.

Materialien

Übungsaufgaben