Maß- und Integrationstheorie

PD Dr. Sebastian Klein
Vorlesung:        
Di  15.30 - 17.00 Uhr in A5, B243
Übung:               
Do 15.30 -17.00 Uhr in A5, B243
Vorkenntnisse: 
Analysis I-II, Grundkenntnisse der Linearen  Algebra
Zielgruppe:        
Bachelor-Studierende ab dem 3. Semester; Master-Studierende

In der Maßtheorie untersucht man die folgende Situation: Eine Menge X zusammen mit einer Zuordnung (genannt "Maß"), die (möglichst vielen) Teilmengen A von X jeweils eine "Maßzahl" m(A) zuordnet.
Diese Situation ist so allgemein, dass man darunter sehr unterschiedliche Fälle fassen kann. Zwei wichtige Beispiele sind:

  1. X ist der übliche n-dimensionale Raum Rn, und das Maß beschreibt die anschauliche (n-dimensionale) Volumenmessung des Rn.
  2. X ist die Menge der möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments, und das Maß auf X beschreibt die Wahrscheinlichkeit der jeweiligen Ereignisse im Rahmen des Zufallsexperiments.

Deshalb spielt die Maßtheorie in vielen verschiedenen mathematischen Gebieten eine wesentliche Rolle, unter anderem in der Analysis, in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik sowie in der Geometrie.
Wir werden in der Vorlesung sehen, wie man Maße konstruiert und ihre Eigenschaften untersucht. Weiter werden wir lernen, wie man Funktionen integriert, die auf einer Menge mit Maß definiert sind. Wir werden also beispielsweise Funktionen bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes zu einem Zufallsexperiment integrieren können. Das so definierte Integral wird nach dem französischen Mathematiker Henri Lebesgue als "Lebesgue-Integral" bezeichnet.
Das Lebesgue-Integral zeichnet sich auch dadurch aus, dass sehr leistungsfähige Sätze zur Verfügung stehen, um die Lebesgue-Integrierbarkeit einer Funktion festzustellen, und um gegebenenfalls den Wert ihres Integrals zu bestimmen. Dies ist ein Vorteil des Lebesgue-Integrals gegenüber dem aus den Analysis-Vorlesungen bekannten Riemann-Integral.

Start am 06.09.2016 (Die Termine von Vorlesung und Übung könnten auf Wunsch der Teilnehmer zu Beginn des Semesters bei Bedarf noch verschoben werden.)

Materialien

Kapitel 1, Teil a (06.09.2016)
Kapitel 1, Teil b (07.09.2016)
Kapitel 1, Teil c (12.09.2016)

Literatur (06.09.2016)

Übungen

1. Übungsblatt (08.09.2016)

2. Übungsblatt (15.09.2016)